Одноканальная смо с ограниченной очередью пример. Одноканальная смо с ограниченной длиной очереди. Многоканальная СМО с ограниченной очередью

Многоканальная система массового обслуживания с ограниченной очередью

Пусть на вход СМО, имеющей каналов обслуживания, поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью. Интенсивность обслуживания заявки каждым каналом равна, а максимальное число мест в очереди равно.

Граф такой системы представлен на рисунке 7.

Рисунок 7 - Граф состояний многоканальной СМО с ограниченной очередью

Все каналы свободны, очереди нет;

Заняты l каналов (l = 1, n), очереди нет;

Заняты все n каналов, в очереди находится i заявок (i = 1, m).

Сравнение графов на рисунке 2 и рисунке 7 показывает, что последняя система является частным случаем системы рождения и гибели, если в ней сделать следующие замены (левые обозначения относятся к системе рождения и гибели):

Выражения для финальных вероятностей легко найти из формул (4) и (5). В результате получим:

Образование очереди происходит, когда в момент поступления в СМО очередной заявки все каналы заняты, т.е. в системе находятся либо n, либо (n+1),…, либо (n + m - 1) заявок. Т.к. эти события несовместны, то вероятность образования очереди p оч равна сумме соответствующих вероятностей:

Отказ в обслуживании заявки происходит, когда все m мест в очереди заняты, т.е.:

Относительная пропускная способность равна:

Среднее число заявок, находящихся в очереди, определяется по формуле (11) и может быть записано в виде:

Среднее число заявок, обслуживаемых в СМО, может быть записано в виде:

Среднее число заявок, находящихся в СМО:

Среднее время пребывания заявки в СМО и в очереди определяется формулами (12) и (13).

Многоканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью

Граф такой СМО изображен на рисунке 8 и получается из графа на рисунке 7 при.

Рисунок 8 - Граф состояний многоканальной СМО с неограниченной очередью

Формулы для финальных вероятностей можно получить из формул для n-канальной СМО с ограниченной очередью при. При этом следует иметь в виду, что при вероятность р 0 = р 1 =…= p n = 0, т.е. очередь неограниченно возрастает. Следовательно, этот случай практического интереса не представляет и ниже рассматривается лишь случай. При из (26) получим:

Формулы для остальных вероятностей имеют тот же вид, что и для СМО с ограниченной очередью:

Из (27) получим выражение для вероятности образования очереди заявок:

Поскольку очередь не ограничена, то вероятность отказа в обслуживании заявки:

Абсолютная пропускная способность:

Из формулы (28) при получим выражение для среднего числа заявок в очереди:

Среднее число обслуживаемых заявок определяется формулой:

Среднее время пребывания в СМО и в очереди определяется формулами (12) и (13).

Многоканальная система массового обслуживания с ограниченной очередью и ограниченным временем ожидания в очереди

Отличие такой СМО от СМО, рассмотренной в подразделе 5.5, состоит в том, что время ожидания обслуживания, когда заявка находится в очереди, считается случайной величиной, распределённой по показательному закону с параметром, где - среднее время ожидания заявки в очереди, а - имеет смысл интенсивности потока ухода заявок из очереди. Граф такой СМО изображён на рисунке 9.

Рисунок 9 - Граф многоканальной СМО с ограниченной очередью и ограниченным временем ожидания в очереди

Остальные обозначения имеют здесь тот же смысл, что и в подразделе.

Сравнение графов на рис. 3 и 9 показывает, что последняя система является частным случаем системы рождения и гибели, если в ней сделать следующие замены (левые обозначения относятся к системе рождения и гибели):

Выражения для финальных вероятностей легко найти из формул (4) и (5) с учетом (29). В результате получим:

где. Вероятность образования очереди определяется формулой:

Отказ в обслуживании заявки происходит, когда все m мест в очереди заняты, т.е. вероятность отказа в обслуживании:

Относительная пропускная способность:

Абсолютная пропускная способность:

Среднее число заявок, находящихся в очереди, находится по формуле (11) и равно:

Среднее число заявок, обслуживаемых в СМО, находится по формуле (10) и равно:

Тема. Теория систем массового обслуживания.

Каждая СМО состоит из какого–то количества обслуживающих единиц, которые называются каналами обслуживания (это станки, транспортные тележки, роботы, линии связи, кассиры, продавцы и т.д.). Всякая СМО предназначена для обслуживания какого–то потока заявок (требований), поступающих в какие-то случайные моменты времени.

Классификация СМО по способу обработки входного потока заявок.

Системы массового обслуживания

С отказами

(без очереди)

С очередью

Неограниченная очередь

Ограниченная очередь

С приоритетом

В порядке поступления

Относительный приоритет

Абсолютный приоритет

По времени обслуживания

По длине очереди

Классификация по способу функционирования:

открытыми, т.е. поток заявок не зависит от внутреннего состояния СМО;

закрытыми, т.е. входной поток зависит от состояния СМО (один ремонтный рабочий обслуживает все каналы по мере их выхода из строя).

Многоканальная СМО с ожиданием

Система с ограниченной длиной очереди. Рассмотрим канальную СМО с ожиданием, на которую поступает поток заявок с интенсивностью ; интенсивность обслуживания (для одного канала) ; число мест в очереди

Состояния системы нумеруются по числу заявок, связанных системой:

нет очереди:

- все каналы свободны;

- занят один канал, остальные свободны;

- заняты -каналов, остальные нет;

- заняты все -каналов, свободных нет;

есть очередь:

- заняты все n-каналов; одна заявка стоит в очереди;

- заняты все n-каналов, r-заявок в очереди;

- заняты все n-каналов, r-заявок в очереди.

ГСП приведен на рис. 9. У каждой стрелки проставлены соответствующие интенсивности потоков событий. По стрелкам слева направо систему переводит всегда один и тот же поток заявок с интенсивностью , по стрелкам справа налево систему переводит поток обслуживании, интенсивность которого равна , умноженному на число занятых каналов.

Рис. 9. Многоканальная СМО с ожиданием

Вероятность отказа.

(29)

Относительная пропускная способность дополняет вероятность отказа до единицы:

Абсолютная пропускная способность СМО:

(30)

Среднее число занятых каналов.

Среднее число заявок в очереди можно вычислить непосредственно как математическое ожидание дискретной случайной величины:

(31)

где .

Здесь опять (выражение в скобках) встречается производная суммы геометрической прогрессии (см. выше (23), (24) - (26)), используя соотношение для нее, получаем:

Среднее число заявок в системе:

Среднее время ожидания заявки в очереди.

(32)

Так же, как и в случае одноканальной СМО с ожиданием, отметим, что это выражение отличается от выражения для средней длины очереди только множителем , т. е.

.

Среднее время пребывания заявки в системе, так же, как и для одноканальной СМО .

Системы с неограниченной длиной очереди. Мы рассмотрели канальную СМО с ожиданием, когда в очереди одновременно могут находиться не более m-заявок.

Так же, как и ранее, при анализе систем без ограничений необходимо рассмотреть полученные соотношения при .

Вероятность отказа

Среднее число заявок в очереди получим при из (31):

,

а среднее время ожидания - из (32): .

Среднее число заявок .

Пример 2. Автозаправочная станция с двумя колонками (n = 2) обслуживает поток машин с интенсивностью =0,8 (машин в минуту). Среднее время обслуживания одной машины:

В данном районе нет другой АЗС, так что очередь машин перед АЗС может расти практически неограниченно. Найти характеристики СМО.

СМО с ограниченным временем ожидания. Ранее рассматривались системы с ожиданием, ограниченным только длиной очереди (числом m-заявок, одновременно находящихся в очереди). В такой СМО заявка, разраставшая в очередь, не покидает ее, пока не дождется обслуживания. На практике встречаются СМО другого типа, в которых заявка, подождав некоторое время, может уйти из очереди (так называемые «нетерпеливые» заявки).

Рассмотрим СМО подобного типа, предполагая, что ограничение времени ожидания является случайной величиной.

Пуассоновский «поток уходов» с интенсивностью:

Если этот поток пуассоновский, то процесс, протекающий в СМО, будет марковским. Найдем для него вероятности состояний. Нумерация состояний системы связывается с числом заявок в системе - как обслуживаемых, так и стоящих в очереди:

нет очереди:

- все каналы свободны;

- занят один канал;

- заняты два канала;

- заняты все n-каналов;

есть очередь:

- заняты все n-каналов, одна заявка стоит в очереди;

- заняты все n-каналов, r-заявок стоят в очереди и т. д.

Граф состояний и переходов системы показан на рис. 10.

Рис. 10. СМО с ограниченным временем ожидания

Разметим этот граф, как и раньше; у всех стрелок, ведущих слева направо, будет стоять интенсивность потока заявок . Для состояний без очереди у стрелок, ведущих из них справа налево, будет, как и раньше, стоять суммарная интенсивность потока обслуживании всех занятых каналов. Что касается состояний с очередью, то у стрелок, ведущих из них справа налево, будет стоять суммарная интенсивность потока обслуживания всех n-каналов плюс соответствующая интенсивность потока уходов из очереди. Если в очереди стоят r-заявок, то суммарная интенсивность потока уходов будет равна .

Среднее число заявок в очереди: (35)

На каждую из этих заявок действует «поток уходов» с интенсивностью . Значит, из среднего числа -заявок в очереди в среднем будет уходить, не дождавшись обслуживания, -заявок в единицу времени и всего в единицу времени в среднем будет обслуживаться -заявок. Относительная пропускная способность СМО будет составлять:

Среднее число занятых каналов по-прежнему получаем, деля абсолютную пропускную способность А на Замкнутые СМО

До сих пор мы рассматривали системы, в которых входящий поток никак не связан с выходящим. Такие системы называются разомкнутыми. В некоторых же случаях обслуженные требования после задержки опять поступают на вход. Такие СМО называются замкнутыми. Поликлиника, обслуживающая данную территорию, бригада рабочих, закрепленная за группой станков, являются примерами замкнутых систем.

В замкнутой СМО циркулирует одно и то же конечное число потенциальных требований. Пока потенциальное требование не реализовалось в качестве требования на обслуживание, считается, что оно находится в блоке задержки. В момент реализации оно поступает в саму систему. Например, рабочие обслуживают группу станков. Каждый станок является потенциальным требованием, превращаясь в реальное в момент своей поломки. Пока станок работает, он находится в блоке задержки, а с момента поломки до момента окончания ремонта - в самой системе. Каждый рабочий является каналом обслуживания. = =P 1 + 2 P 2 +…+(n- 1 )P n- 1 +n( 1 -P На вход трехканальной СМО с отказами поступает поток заявок с интенсивностью =4 заявки в минуту, время обслуживания заявки одним каналом t обсл =1/μ =0,5 мин. Выгодно ли с точки зрения пропускной способности СМО заставить все три канала обслуживать заявки сразу, причем среднее время обслуживания уменьшается втрое? Как это скажется на среднем времени пребывания заявки в СМО?

Пример 2 . /μ=2, ρ/ n =2/3<1.

Задача 3:

Два рабочих обслуживают группу из четырех станков. Остановки работающего станка происходят в среднем через 30 мин. Среднее время наладки составляет 15 мин. Время работы и время наладки распределено по экспоненциальному закону.

Найдите среднюю долю свободного времени для каждого рабочего и среднее время работы станка.

Найдите те же характеристики для системы, в которой:

а) за каждым рабочим закреплены два станка;

б) два рабочих всегда обслуживают станок вместе, причем с двойной интенсивностью;

в) единственный неисправный станок обслуживают оба рабочих сразу (с двойной интенсивностью), а при появлении еще хотя бы одного неисправного станка они начинают работать порознь, причем каждый обслуживает один станок (вначале опишите систему в терминах процессов гибели и рождения).

На практике довольно часто встречаются одноканальные СМО с очередью (врач, обслуживающий пациентов; телефон-автомат с одной будкой; ЭВМ, выполняющая заказы пользователей). В теории массового обслуживания одноканальные СМО с очередью также занимают особое место (именно к таким СМО относится большинство полученных до сих пор аналитических формул для немарковских систем). Поэтому мы уделим одноканальной СМО с очередью особое внимание.

Пусть имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложено никаких ограничений (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). На эту СМО поступает поток заявок с интенсивностью X; поток обслуживаний имеет интенсивность, обратную среднему времени обслуживания заявки Требуется найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффективности:

Среднее число заявок в системе,

Среднее время пребывания заявки в системе,

Среднее число заявок в очереди,

Среднее время пребывания заявки в очереди,

Вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).

Что касается абсолютной пропускной способности А и относительной Q, то вычислять их нет надобности: в силу того, что очередь неограниченна, каждая заявка рано или поздно будет обслужена, поэтому по той же причина

Решение. Состояния системы, как и раньше, будем нумеровать по числу заявок, находящихся в СМО:

Канал свободен,

Канал занят (обслуживает заявку), очереди нет,

Канал занят, одна заявка стоит в очереди,

Канал занят, заявок стоят в очереди,

Теоретически число состояний ничем не ограничено (бесконечно). Граф состояний имеет вид, показанный на рис. 20.2. Это - схема гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний. По всем стрелкам поток заявок с интенсивностью А переводит систему слева направо, а справа налево - поток обслуживаний с интенсивностью

Прежде всего спросим себя, а существуют ли в этом случае финальные вероятности? Ведь число состояний системы бесконечно, и, в принципе, при очередь может неограниченно возрастать! Да, так оно и есть: финальные вероятности для такой СМО существуют не всегда, а только когда система не перегружена. Можно доказать, что если строго меньше единицы то финальные вероятности существуют, а при очередь при растет неограниченно. Особенно «непонятным» кажется этот факт при Казалось бы, к системе не предъявляется невыполнимых требований: за время обслуживания одной заявки приходит в среднем одна заявка, и все должно быть в порядке, а вот на деле - не так.

При СМО справляется с потоком заявок, только если поток этот - регулярен, и время обслуживания - тоже не случайное, равное интервалу между заявками. В этом «идеальном» случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят и будет регулярно выпускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или потоку обслуживаний стать хотя бы чуточку случайными - и очередь уже будет расти до бесконечности. На практике этого не происходит только потому, что «бесконечное число заявок в очереди» - абстракция. Вот к каким грубым ошибкам может привести замена случайных величин их математическими ожиданиями!

Но вернемся к нашей одноканальной СМО с неограниченной очередью. Строго говоря, формулы для финальных вероятностей в схеме гибели и размножения выводились нами только для случая конечного числа состояний, но позволим себе вольность - воспользуемся ими и для бесконечного числа состояний. Подсчитаем финальные вероятности состояний по формулам (19.8), (19.7). В нашем случае число слагаемых в формуле (19.8) будет бесконечным. Получим выражение для

Ряд в формуле (20.11) представляет собой геометрическую прогрессию. Мы знаем, что при ряд сходится - это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем . При ряд расходится (что является косвенным, хотя и не строгим доказательством того, что финальные вероятности состояний существуют только при ). Теперь предположим, что это условие выполнено, и Суммируя прогрессию в (20.11), имеем

(20.12)

Вероятности найдутся по формулам:

откуда, с учетом (20.12), найдем окончательно:

Как видно, вероятности образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Как это ни странно, максимальная из них - вероятность того, что канал будет вообще свободен. Как бы ни была нагружена система с очередью, если только она вообще справляется с потоком заявок самое вероятное число заявок в системе будет 0.

Найдем среднее число заявок в СМО . Тут придется немного повозиться. Случайная величина Z - число заявок в системе - имеет возможные значения с вероятностями

Ее математическое ожидание равно

(20.14)

(сумма берется не от 0 до а от 1 до так как нулевой член равен нулю).

Подставим в формулу (20.14) выражение для

Теперь вынесем за знак суммы :

Тут мы опять применим «маленькую хитрость»: есть не что иное, как производная пор от выражения значит,

Меняя местами операции дифференцирования и суммирования, получим:

Но сумма в формуле (20.15) есть не что иное, как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем ; эта сумма равна а ее производная . Подставляя это выражение в (20.15), получим:

(20.16)

Ну, а теперь применим формулу Литтла (19.12) и наймем среднее время пребывания заявки в системе:

Найдем среднее число заявок в очереди Будем рассуждать так: число заявок в очереди равно числу заявок в системе минус чйсло заявок, находящихся под обслуживанием. Значит (по правилу сложения математических ожиданий), среднее число заявок в очереди равно среднему числу заявок в системе минус среднее число заявок под обслуживанием. Число заявок под обслуживанием может быть либо нулем (если канал свободен), либо единицей (если он занят). Математическое ожидание такой случайной величины равно вероятности того, что канал занят (мы ее обозначили ). Очевидно, равно единице минус вероятность того, что канал свободен;

Следовательно, среднее число заявок под обслуживанием равно

Системы с ожиданием при неограниченном входящем потоке

На n одинаковых каналов поступает простейший поток заявок интенсивностью λ . Если в момент поступления заявки все каналы заняты, то эта заявка становится в очередь и ждет начала облуживания. Время обслуживания каждой заявки является случайной величиной, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ .

Расчетные формулы
Вероятность того, что все каналы свободны

Вероятность того, что занято k каналов, при условии, что общее число заявок, находящихся на обслуживании, не превосходит числа каналов,

Вероятность того, что в системе находится k заявок, в случае, когда их число больше числа каналов,

Вероятность того, что все каналы заняты,

Среднее время ожидания заявкой начала обслуживания в системе

Средняя длина очереди

Среднее число свободных от обслуживания каналов

Пример
Автозаправочная станция с двумя колонками обслуживает пуассоновский поток машин с интенсивностью λ=0,8 машин в минуту. Время обслуживания одной машины подчиняется показательному закону со средним значением 2 минуты. В данном районе нет другой АЗС, так что очередь перед АЗС может расти практически неограниченно. Найдите:
1) среднее число занятых колонок;
2) вероятность отсутствия очереди у АЗС;
3) вероятность того, что придется ждать начала обслуживания;
4) среднее число машин в очереди;
5) среднее время ожидания в очереди;
6) среднее время пребывания машины на АЗС;
7) среднее число машин на АЗС.
Решение . По условию задачи n=2, λ=0.8; μ=1/t обсл =0.5; ρ=λ/μ=1.6
Поскольку ρ /n =0,8<1, то очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы системы массового обслуживания.
Находим вероятности состояний СМО:

Среднее число занятых колонок:
N зан =n-N 0 = 2-(2·p 0 +1·p 1) = 2-2·0.1111 - 0.1778 = 1.6
Вероятность отсутствия очереди у АЗС:

Вероятность того, что придется ждать начала обслуживания равна вероятности того, что все колонки заняты:
p 0 +p 1 +p 2 = 0.1111+0.1778+0.1422 = 0.4311
Среднее число машин в очереди:

Среднее время ожидания в очереди:
Среднее время пребывания машины на АЗС:
t преб =t обсл +t ож = 2+3.5556 = 5.5556 мин.
Среднее число машин на АЗС:
N зан +L оч = 1.6+2.8444 = 4.4444
Рассмотрим одноканальную СМО с ожиданиями, в которой число каналов равно единице n = 1, интенсивность поступления заявок – λ, интенсивность обслуживания равна μ. Заявка, поступившая в тот момент времени, когда канал занят, становится в очередь и ждет обслуживания. Количество мест в очереди ограничено и равно m . Если все места в очереди заняты, то заявка покидает очередь не обслуженной. Проанализируем состояние системы:

• S 0 – канал свободен;
• S 1 – канал занят;
• S 2 – канал занят, одна заявка в очереди;
• S k – канал занят, (k–1) заявок в очереди;
• S m + 1 – канал занят, в очереди m заявок.

Изобразим граф состояний такой СМО (рис. 25).

Рис. 25
По формулам Эрланга найдем вероятности событий, состоящих в том, что СМО находится в состоянии S 1 , S 2 , …, S m+1:
(28)

При этом вероятность того, что заявка, прибывшая в систему, найдет ее свободной, равна
. (29)
Отношение интенсивности поступления заявок λ к интенсивности обслуживания заявок μ есть приведенная интенсивность μ, т.е.

ρ=λ/μ
Произведем замену в формулах (28) и (29) отношения λ/&mu на ρ, тогда выражения примут вид:

(30)
Вероятность Р 0 будет вычисляться по следующей формуле:
p 0 = -1 . (31)
Выражение для вероятности P 0 есть геометрическая прогрессия, сумма которой будет равна

.
Таким образом, формулы (30) и (31) позволяют определить вероятность любого события, которое может произойти в системе, т. е. определить вероятность нахождения системы в любом состоянии.
Формула для P 0 справедлива для случая, когда ρ ≠ 1 . В случае, когда ρ = 1 , т. е. интенсивность поступления заявок равна интенсивности их обслуживания, используется другая формула для вычисления вероятности того, что система свободна:

,
где m – это количество заявок, находящихся в очереди.

Определим характеристики эффективности одноканальной СМО :

• вероятность того, что очередная заявка, прибывшая в систему, получит отказ Р отк;
• абсолютную пропускную способность А ,
• относительную пропускную способность Q ,
• число занятых каналов k ,
• среднее число заявок в очереди r ,
• среднее число заявок, связанных с СМО, z .

Очередная заявка, поступившая в систему, получает отказ в том случае, когда занят канал, т. е. идет обслуживание другой заявки, и все m мест в очереди также заняты. тогда вероятность этого события можно вычислить по следующей формуле:

. (32)
Вероятность того, что заявка придет в систему и либо немедленно будет обслужена, либо будут места в очереди, т. е. относительную пропускную способность, можно найти по формуле

. (33)
Среднее число заявок, которые могут быть обслужены в единицу времени, т. е. абсолютную пропускную способность, рассчитывают следующим образом:

A=Q·λ (34)
Таким образом, по формулам (32), (33), (34) можно вычислить основные показатели эффективности для любой системы массового обслуживания. теперь выведем выражения для вычисления характеристик, присущих лишь данной СМО.
Среднее число заявок в очереди r определим как математическое ожидание дискретной случайной величины, где R – число заявок в очереди.
♦ Р 2 – это вероятность того, что в очереди на обслуживание находится одна заявка;
♦ Р 3 – вероятность того, что в очереди две заявки;
♦ Р k – вероятность того, что в очереди (k–1) заявка;
♦ Р m + 1 – вероятность того что в очереди m заявок.
Тогда среднее число заявок в очереди можно вычислить следующим образом:
r =1·P 2 +2·P 3 + ... +(k-1)·P k + ... +m·P m+1 . (35)
Подставим в формулу (35) найденные ранее значения вероятностей, вычисленные в формуле (30):
r =1·ρ 2 ·p 0 +2·ρ 3 ·p 0 + ... +(k-1)·ρ k ·p 0 + ... +m·ρ m+1 ·p 0 . (35)
Вынесем за скобку вероятность P 0 и Р 2 , тогда получим итоговую формулу для вычисления среднего числа заявок в очереди на обслуживание:
r =ρ 2 ·p 0 (1+2·ρ+ ... +(k-1)·ρ k-2 + ... +m·ρ m-1)
Выведем формулу для среднего числа заявок, связанных с СМО, z , т. е. число заявок в очереди, находящихся на обслуживании. Рассмотрим общее число заявок, связанных с СМО, z как сумму двух величин среднего числа заявок в очереди r и числа занятых каналов k :

z = r +k .
Так как канал один, то число занятых каналов k может принимать значения 0 или 1. Вероятность того, что k = 0, т.е. система свободна, соответствует вероятности Р 0 , значение которой можно найти по формуле (31). Если k = 1, т.е. канал занят обслуживанием заявки, но места в очереди еще есть, то вероятность этого события можно вычислить по формуле

.
Следовательно, z будет равно:

. (37)

Одноканальная СМО с ожиданием

Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью l. Интенсивность потока обслуживания равна m (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать m. обслуженных заявок). Длительность обслуживания - случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживании является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.
Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), т. е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.
Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на Рис. 3.2.


Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием (схема гибели и размножения)
Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:
S 0 - канал свободен
S 1 - канал занят (очереди нет);
S 2 - канал занят (одна заявка стоит в очереди);
………………………………
S n - канал занят (n - 1 заявок стоит в очереди);
……………………………
S N - канал занят (N - 1 заявок стоит в очереди).
Стационарный провес в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений :

п - номер состояния.
Решение приведенной выше системы уравнений (3.10) для нашей модели СМО имеет вид

Следует отметить, что выполнение условия стационарности для данной СМО необязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превышать N - 1), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т. е. не отношением
l/m = p
Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N - 1):

Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием.
Пример 3.2. Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограничено и равно 3 [(N - 1) = 3]. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность l = 0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно 1,05 час.
Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.
Решение
1. Параметр потока обслуживании автомобилей:

2. Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей l и m, т. е.

3. Вычислим финальные вероятности системы:

P 1 =ρ·P 0 = 0.893·0.248 = 0.221
P 2 =ρ 2 ·P 0 = 0.893 2 ·0.248 = 0.198
P 3 =ρ 3 ·P 0 = 0.893 3 ·0.248 = 0.177
P 4 =ρ 4 ·P 0 = 0.893 2 ·0.248 = 0.158
4. Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:
P отк =P 4 =ρ 4 ·P 0 ≈ 0.158
5. Относительная пропускная способность поста диагностики:
q=1-P отк = 1-0.158 = 0.842
6. Абсолютная пропускная способность поста диагностики
A=λ·q = 0.85·0.842 = 0.716 (автомобиля в час)
7. Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания):

8. Среднее время пребывания автомобиля в системе:
9. Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:
W q =W S -1/μ = 2.473-1/0.952 = 1.423 часа
10. Среднее число заявок в очереди (длина очереди): L q = А,(1 - P N) W q = 0,85
L q =λ(1-P N)·W q = 0.85·(1-0.158)·1.423 = 1.02
Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не обслуживает автомобили в среднем в 15,8% случаев (Р отк = 0,158). В качестве показателей эффективности СМО с ожиданием, кроме уже известных показателей - абсолютной А и относительной Q пропускной способности, вероятности отказа P отк. , среднего числа занятых каналов (для многоканальной системы) будем рассматривать также следующие: L сист. - среднее число заявок системе; Т сист. - среднее время пребывания заявки в системе; L оч. - среднее число заявок в очереди (длина очереди); Т оч. - среднее время пребывания заявки в очереди; Р зан.. - вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).

Одноканальная система с неограниченной очередью

На практике часто встречаются одноканальные СМО с неограниченной очередью (например, телефон-автомат с одной будкой).
Рассмотрим задачу.
Имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложены никакие ограничения (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность λ, а поток обслуживании - интенсивность μ. Необходимо найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности СМО.
Система может находиться в одном из состояний S 0 , S 1 , S 2 , …, S k , по числу заявок, находящихся в СМО: S 0 - канал свободен; S 1 - канал занят (обслуживает заявку), очереди нет, S 2 - канал занят, одна заявка стоит в очереди; ... S k - канал занят, (k-1) заявок стоят в очереди и т.д.
Граф состояний СМО представлен на рис. 8.

Рис. 8
Это процесс гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний, в котором интенсивность потока заявок равна λ, а интенсивность потока обслуживании μ.
Прежде чем записать формулы предельных вероятностей, необходимо быть уверенным в их существовании, ведь в случае, когда время t→∞, очередь может неограниченно возрастать. Доказано, что если ρ<1, т.е. среднее число приходящих заявок меньше среднего числа обслуженных заявок (в единицу времени), то предельные вероятности существуют. Если ρ≥1, очередь растет до бесконечности.

Для определения предельных вероятностей состояний воспользуемся формулами (16), (17) для процесса гибели и размножении (здесь мы допускаем известную нестрогость, так как ранее эти формулы были получены для случая конечного числа состояний системы). Получим(32)
Так как предельные вероятности существуют лишь при ρ < 1, то геометрический ряд со знаменателем
ρ < 1, записанный в скобках в формуле (32), сходится к сумме, равной . Поэтому
p 0 =1-ρ, (33)
и с учетом соотношений (17)
p 1 =ρ·p 0 ; p 2 =ρ 2 ·p 0 ; ... ; p k =ρ k ·p 0 ; ...
найдем предельные вероятности других состояний
p 1 =ρ·(1-ρ); p 2 =ρ 2 ·(1-ρ); ... ; p k =ρ k ·(1-ρ); ... (34)
Предельные вероятности p 0 , p 1 , p 2 , …, p k ,… образуют убывающую геометрическую профессию со знаменателем р < 1, следовательно, вероятность р 0 - наибольшая. Это означает, что если СМО справляется с потоком заявок (при ρ < 1), то наиболее вероятным будет отсутствие заявок в системе.
Среднее число заявок в системе L сист. определим по формуле математического ожидания, которая с учетом (34) примет вид
(35)
(суммирование от 1 до ∞, так как нулевой член 0·p 0 =0).
Можно показать, что формула (35) преобразуется (при ρ < 1) к виду
(36)
Найдем среднее число заявок в очереди L оч. Очевидно, что
L оч =L сист -L об (37)
где L об. - среднее число заявок, находящихся под обслуживанием.
Среднее число заявок под обслуживанием определим по формуле математического ожидания числа заявок под обслуживанием, принимающего значения 0 (если канал свободен) либо 1 (если канал занят):
L оч =0·p 0 +1·(1-p 0)
т.е. среднее число заявок под обслуживанием равно вероятности того, что канал занят:
L оч =P зан =1-p 0 , (38)
В силу (33)
L оч =P зан ρ, (39)
Теперь по формуле (37) с учетом (36) и (39)
(40)
Доказано, что при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе (очереди) равна среднему числу заявок в системе (в очереди), деленному на интенсивность потока заявок, т.е.
(41)
(42)
Формулы (41) и (42) называются формулами Литтла. Они вытекают из того, что в предельном, стационарном режиме среднее число заявок, прибывающих в систему, равно среднему числу заявок, покидающих ее: оба потока заявок имеют одну и ту же интенсивность λ.
На основании формул (41) и (42) с учетом (36) и (40) среднее время пребывания заявки в системе определится по формуле:
(43)
а среднее время пребывания заявки в очереди
(44)

Одноканальная СМО с ожиданием без ограничения на вместимость блока ожидания

Стационарный режим функционирования данной СМО существует при t→∞ для любого п=0,1,2,… и когда l < m.Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при t®¥ для любого n = 0, 1, 2...., имеет вид
Решение данной системы уравнений имеет вид
P n =(1-ρ)·ρ n , n=0,1,2,... (3.21)
где ρ=λ/μ < 1
Характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без ограничения на длину очереди, следующие:
среднее число находящихся в системе клиентов (заявок) на обслуживание:
средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

Пример 3.3. Вспомним о ситуации, рассмотренной в пример 3.2, где речь идет о функционировании поста диагностики. Пусть рассматриваемый пост диагностики располагает неограниченны» количеством площадок для стоянки прибывающих на обслуживание автомобилей, т. е. длина очереди не ограничена.
Требуется определить финальные значения следующих вероятностных характеристик:

• вероятности состояний системы (поста диагностики);
• среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди);
• среднюю продолжительность пребывания автомобиля в системе (на обслуживании и в очереди);
• среднее число автомобилей в очереди на обслуживании;
• среднюю продолжительность пребывания автомобиля в очереди.

Решение
1. Параметр потока обслуживания m и приведенная интенсивность потока автомобилей р определены в примере 3.2:
m = 0,952; p = 0,893.
2. Вычислим предельные вероятности системы по формулам
P 0 =1-ρ = 1-0.893 = 0.107
P 1 =(1-ρ)·ρ = (1-0.893)·0.893 = 0.096
P 2 =(1-ρ)·ρ 2 = (1-0.893) 2 ·0.893 = 0.085
P 3 =(1-ρ)·ρ 3 = (1-0.893) 3 ·0.893 = 0.076
P 4 =(1-ρ)·ρ 4 = (1-0.893) 4 ·0.893 = 0.068
P 5 =(1-ρ)·ρ 5 = (1-0.893) 5 ·0.893 = 0.061
и т.д.
Следует отметить, что Р о определяет долю времени, в течение которого пост диагностики вынужденно бездействует (простаивает). В нашем примере она составляет 10,7%, так как Р о = 0,107.
3. Среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди):
4. Средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

6. Средняя продолжительность пребывания автомобиля в очереди-
7. Относительная пропускная способность системы:
т. е. каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена.
8. Абсолютная пропускная способность: А = lq = 0,85·1 = 0,85
Следует отметить, что предприятие, осуществляющее диагностику автомобилей, прежде всего интересует количество клиентов, которое посетит пост диагностики при снятии ограничения на длину очереди.
Допустим, в первоначальном варианте количество мест для стоянки прибывающих автомобилей было равно трем (см. пример 3.2). Частота m возникновения ситуаций, когда прибывающий на пост диагностики автомобиль не имеет возможности присоединиться к очереди:

т = l P N

В нашем примере при N = 3 + 1 = 4 и р = 0,893,
m = l Р о р 4 = 0,85·0,248·0,8934·0,134 автомобиля в час.
При 12-часовом режиме работы поста диагностики это эквивалентно тому, что пост диагностики в среднем за смену (день) будет терять 12·0,134 = 1,6 автомобиля.
Снятие ограничения на длину очереди позволяет увеличить количество обслуженных клиентов в нашем примере в среднем на 1,6 автомобиля за смену (12 ч. работы) поста диагностики. Ясно, что решение относительно расширения площади для стоянки автомобилей, прибывающих на пост диагностики, должно основываться на оценке экономического ущерба, который обусловлен потерей клиентов при наличии всего трех мест для стоянки этих автомобилей.

Многоканальная СМО с неограниченной очередью

Рассмотрим задачу. Имеется n-канальная СМО с неограниченной очередью. Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность λ, а поток обслуживании - интенсивность μ. Необходимо найти предельные вероятности состояний СМО и показатели ее эффективности.

Система может находиться в одном из состояний S 0 , S 1 , S 2 ,…, S k ,…, S n ,…, - нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО: S 0 - в системе нет заявок (все каналы свободны); S 1 - занят один канал, остальные свободны; S 2 - заняты два канала, остальные свободны;..., S k - занято k каналов, остальные свободны;..., S n - заняты все n каналов (очереди нет); S n+1 - заняты все n каналов, в очереди одна заявка;..., S n+r - заняты все n каналов, r заявок стоит в очереди,....

Граф состояний системы показан на рис. 9. Обратим внимание на то, что в отличие от предыдущей СМО, интенсивность потока обслуживаний (переводящего систему из одного состояния в другое справа налево) не остается постоянной, а по мере увеличения числа заявок в СМО от 0 до n увеличивается от величины m до nm, так как соответственно увеличивается число каналов обслуживания. При числе заявок в СМО большем, чем n, интенсивность потока обслуживании сохраняется равной nm.

среднее число заявок в очереди
, (50)
среднее число заявок в системе
L сист =L оч +ρ, (51)
Среднее время пребывания заявки в очереди и среднее время пребывания заявки в системе, как и ранее, находятся по формулам Литтла (42) и (41).
Замечание. Для СМО с неограниченной очередью при r < 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа P отк = 0, относительная пропускная способность Q =1, а абсолютная пропускная способность равна интенсивности входящего потока заявок, т.е. А =l.

СМО с ограниченной очередью

СМО с ограниченной очередью. СМО с ограниченной очередью отличаются от рассмотренных выше задач лишь тем, что число заявок в очереди ограничено (не может превосходить некоторого заданного т). Если новая заявка поступает в момент, когда все места в очереди заняты, она покидает СМО необслуженной, т.е. получает отказ.
Очевидно: для вычисления предельных вероятностей состояний и показателей эффективности таких СМО может быть использован тот же подход, что и выше, с той разницей, что суммировать надо не бесконечную прогрессию (как, например, мы делали при выводе формулы (33)), а конечную.
Среднее время пребывания заявки в очереди и в системе, как и ранее, определяем по формулам Литтла (44) и (43).
СМО с ограниченным временем ожидания. На практике часто встречаются СМО с так называемыми "нетерпеливыми" заявками. Такие заявки могут уйти из очереди, если время ожидания превышает некоторую величину. В частности, такого рода заявки возникают в различных технологических системах, в которых задержка с началом обслуживания может привести к потере качества продукции, в системах оперативного управления, когда срочные сообщения теряют ценность (или даже смысл), если они не поступают на обслуживание в течение определенного времени.

В простейших математических моделях таких систем предполагается, что заявка может находиться в очереди случайное время, распределенное по показательному закону с некоторым параметром υ, т.е. можно условно считать, что каждая заявка, стоящая в очереди на обслуживание, может покинуть систему с интенсивностью υ.
Соответствующие показатели эффективности СМО с ограниченным временем получаются на базе результатов, полученных для процесса гибели и размножения.

В заключение отметим, что на практике часто встречаются замкнутые системы обслуживания , у которых входящий поток заявок существенным образом зависит от состояния самой СМО. В качестве примера можно привести ситуацию, когда на ремонтную базу поступают с мест эксплуатации некоторые машины: понятно, что чем больше машин находится в состоянии ремонта, тем меньше их продолжает эксплуатироваться и тем меньше интенсивность потока вновь поступающих на ремонт машин. Для замкнутых СМО характерным является ограниченное число источников заявок, причем каждый источник "блокируется" на время обслуживания его заявки (т.е. он не выдает новых заявок). В подобных системах при конечном числе состояний СМО предельные вероятности будут существовать при любых значениях интенсивностей потоков заявок и обслуживании. Они могут быть вычислены, если вновь обратиться к процессу гибели и размножения.

Рассмотрим многоканальную СМО (п > 1), на вход которой поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью а интенсивность обслуживания каждого канала составляет р, максимально возможное число мест в очереди ограничено величиной т. Дискретные состояния СМО определяются количеством заявок, поступивших в систему, которые можно записать:

Sq - все каналы свободны, k = 0;

S - занят только один канал (любой), k = 1;

*5*2 - заняты только два канала (любых), k = 2;

S n - заняты все п каналов, k = п.

Пока СМО находится в любом из этих состояний, очереди нет. После того как заняты все каналы обслуживания, последующие заявки образуют очередь, тем самым определяя дальнейшее состояние системы:

S n + - заняты все п каналов и одна заявка стоит в очереди, k = п + 1;

S n +2 - заняты все п каналов и две заявки стоят в очереди, k = п + 2;

S n+m - заняты все п канатов и все т мест в очереди, k = n + m.

Граф состояний и-канальной СМО с очередью, ограниченной т местами, представлен на рис. 5.18.

Переход СМО в состояние с большими номерами определяется потоком поступающих заявок с интенсивностью

Рис. 5.18

тогда как по условию в обслуживании этих заявок принимают участие п одинаковых каналов с интенсивностью потока обслуживания, равной р для каждого канала. При этом полная интенсивность потока обслуживания возрастает с подключением новых каналов вплоть до такого состояния S n , когда все п каналов окажутся занятыми. С появлением очереди интенсивность обслуживания более не увеличивается, так как она уже достигла максимального значения, равного пх.

Запишем выражения для предельных вероятностей состояний

Выражение для ро можно преобразовать, используя формулу геометрической прогрессии для суммы членов со знаменателем р/п:

Образование очереди возможно, когда вновь поступившая заявка застанет в системе не менее п требований, т.е. когда в системе будет находиться п, п + 1, п + 2, (п + т - 1) требований. Эти события независимы, поэтому вероятность того, что все каналы заняты, равна сумме соответствующих вероятностей р ю Рп+ьРп+ 2 > ->Рп+т- 1- Поэтому вероятность образования очереди равна

Вероятность отказа в обслуживании наступает тогда, когда все п каналов и все т мест в очереди заняты

Относительная пропускная способность будет равна

Абсолютная пропускная способность

Среднее число занятых каналов

Среднее число простаивающих каналов

Коэффициент занятости (использования) каналов

Коэффициент простоя каналов

Среднее число заявок, находящихся в очередях,

в случае если р/п = 1, эта формула принимает другой вид:

Среднее время ожидания в очереди определяется формулами Литтла

Среднее время пребывания заявки в СМО, как и для одноканальной СМО, больше среднего времени ожидания в очереди на среднее время обслуживания, равное 1/р, поскольку заявка всегда обслуживается только одним каналом:

Пример 5.21. В минимаркет поступает поток покупателей с интенсивностью шесть покупателей в минуту, которых обслуживают три контролера-кассира с интенсивностью два покупателя в минуту. Длина очереди ограничена пятью покупателями. Определите характеристики СМО и дайте оценку ее работы.

Решение

п = 3; т = 5; X = 6; р = 2; р = Х/х = 3; р/п = 1.

Находим предельные вероятности состояний СМО:

Доля времени простоя контролеров-кассиров

Вероятность того, что занят обслуживанием только один канал,

Вероятность того, что заняты обслуживанием два канала,

Вероятность того, что заняты все три канала,

Вероятность того, что заняты все три канала и пять мест в очереди,

Вероятность отказа в обслуживании наступает при k = т + п = = 5 + 3 = 8 и составляет р$ = р ОТК = 0,127.

Относительная и абсолютная пропускные способности СМО соответственно равны Q = 1 - р отк = 0,873 и Л = 0,873А. = 5,24 (поку- пателя/мин).

Среднее число занятых каналов и средняя длина очереди равны:

Среднее время ожидания в очереди п пребывания в СМО соответственно равно:

Система обслуживания минимаркета заслуживает высокой оценки, поскольку средняя длина очереди, среднее время пребывания покупателя в очереди составляют малые величины.

Пример 5.22. Па плодоовощную базу в среднем через 30 мин прибывают автомашины с плодоовощной продукцией. Среднее время разгрузки одной машины составляет 1,5 ч. Разгрузку производят две бригады грузчиков. На территории базы у дебаркадера могут находиться в очереди в ожидании разгрузки не более четырех автомашин. Определим показатели и дадим оценку работы СМО.

Решение

СМО двухканальная, п = 2 с ограниченным числом мест в очереди m = 4, интенсивность входящего потока л. = 2 авт/ч, интенсивность обслуживания ц = 2/3 авт/ч, интенсивность нагрузки р = А./р = 3, р/п = 3/2 = 1,5.

Определяем характеристики СМО:

Вероятность того, что все бригады не загружены, когда нет автомашин,

Вероятность отказа, когда под разгрузкой два автомобиля, а в очереди четыре автомобиля,

Среднее число автомашин в очереди

Доля времени простоя грузчиков очень мала и составляет всего 1,58% рабочего времени, а вероятность отказа велика - 36% заявок из числа поступивших получают отказ в разгрузке, обе бригады практически заняты полностью, коэффициент занятости близок к единице и равен 0,96, относительная пропускная способность мала - всего 64% из числа поступивших заявок будут обслужены, средняя длина очереди - 2,6 автомашины, следовательно, СМ О нс справляется с выполнением заявок на обслуживание и необходимо увеличить число бригад грузчиков и шире использовать возможности дебаркадера.

Пример 5.23. Коммерческая фирма получает но кольцевому завозу ранние овощи из теплиц пригородного совхоза в случайные моменты времени с интенсивностью 6 ед. в день. Подсобные помещения, оборудование и трудовые ресурсы позволяют обработать и хранить продукцию в объеме 2 ед. В фирме работают четыре человека, каждый из которых в среднем может обработать продукцию одного завоза в течение 4 ч. Продолжительность рабочего дня при сменной работе составляет 12 ч. Какова должна быть емкость складского помещения, чтобы полная обработка продукции была бы не менее 97% из числа осуществляемых поставок?

Решение

Решим задачу путем последовательного определения показателей СМО для различных значений емкости складского помещения т = 2, 3, 4, 5 и т.д. и сравнения на каждом этапе расчетов вероятности обслуживания с заданной величиной р 0 ()С = 0,97.

Определяем интенсивность нагрузки:

Находим вероятность, или долю времени, простоя для т = 2:

Вероятность отказа в обслуживании, или доля потерянных заявок,

Вероятность обслуживания, или доля обслуженных заявок из числа поступивших, составляет

Поскольку полученная величина меньше заданной величины 0,97, то продолжаем вычисления для т = 3. Для этой величины показатели состояний СМО имеют значения

Вероятность обслуживания и в этом случае меньше заданной величины, поэтому продолжаем вычисления для следующего т = 4, для которого показатели состояния имеют такие значения: р$ = 0,12; Ротк = 0,028; Pofc = 0,972. Теперь полученная величина вероятности обслуживания удовлетворяет условию задачи, поскольку 0,972 > 0,97, следовательно, емкость складского помещения необходимо увеличить до объема 4 ед.

Для достижения заданной вероятности обслуживания можно подобрать таким же образом оптимальное количество человек на обработке овощей, проводя последовательно вычисления показателей СМО для п = 3, 4, 5 и т.д. Компромиссный вариант решения можно найти путем сравнения и сопоставления для разных вариантов организаций СМО затрат, связанных как с увеличением числа работающих, так и с созданием специального технологического оборудования но обработке овощей на коммерческом предприятии.

Таким образом, модели массового обслуживания в сочетании с экономическими методами постановки задач позволяют проводить анализ существующих СМО, разрабатывать рекомендации по их реорганизации для повышения эффективности работы, а также определять оптимальные показатели вновь создаваемых СМО.

Пример 5.24. На автомойку в среднем за час приезжают девять автомобилей, но если в очереди уже находятся четыре автомобиля, вновь подъезжающие клиенты, как правило, не встают в очередь, а проезжают мимо. Среднее время мойки автомобиля составляет 20 мин, а мест для мойки всего два. Средняя стоимость мойки автомобиля составляет 70 руб. Определите среднюю величину потери выручки автомойки в течение дня.

Решение

X = 9 авт/ч; = 20 мин; п = 2;т = 4.

Находим интенсивность нагрузки Определяем долю времени простоя автомойки

Вероятность отказа

Относительная пропускная способность равна Абсолютная пропускная способность Среднее число автомобилей в очереди

Среднее число заявок, находящихся в обслуживании,

Среднее время ожидания в очереди

Среднее время пребывания автомашины на мойке

Таким образом, 34% заявок не будут обслужены, потеря за 12 ч работы одного дня составит в среднем 2570 руб. (12*9* 0,34 70), т.е. 52% от всей выручки, поскольку р отк = 0,52 р 0 ^ с.

• относительная пропускная способность, или вероятность обслуживания, абсолютная пропускная способность среднее число занятых бригад коэффициент занятости работой бригад грузчиков