Математические методы принятия управленческих решений в условиях неопределенности. Математические методы в принятии решений Математическая оценка качества принятого решения

2. Построение согласующих кластеризованных ранжировок может осуществляться поэтапно. В частности, f (A,B,C ) = f (f (A,B ), f (A ,C ), f (B,C )). Ясно, что ядро противоречий для набора кластеризованных ранжировок является объединением таких ядер для всех пар рассматриваемых ранжировок .

3. Построение согласующих кластеризованных ранжировок нацелено на выделение общего упорядочения в исходных кластеризованных ранжировках. Однако при этом некоторые общие свойства исходных кластеризованных ранжировок могут теряться. Так, при согласовании ранжировок В и С , рассмотренных выше, противоречия в упорядочении элементов 1 и 2 не было - в ранжировке В эти объекты входили в один кластер, т.е. 1 = 2, в то время как 1<2 в кластеризованной ранжировке С . Значит, при их отдельном рассмотрении можно принять упорядочение 1<2. Однако в f (В,C ) они попали в один кластер, т.е. возможность их упорядочения исчезла. Это связано с поведением объекта 3, который "перескочил" в С на первое место и "увлек с собой в противоречие" пару (1, 2), образовав противоречивые пары и с 1, и с 2. Другими словами, связная компонента графа, соответствующего ядру противоречий, сама по себе не всегда является полным графом. Недостающие ребра при этом соответствуют парам типа (1, 2), которые сами по себе не являются противоречивыми, но "увлекаются в противоречие" другими парами.

4. Необходимость согласования кластеризованных ранжировок возникает, в частности, при разработке методики применения экспертных оценок в задачах экологического страхования и химической безопасности биосферы. Как уже говорилось, популярным является метод упорядочения по средним рангам, в котором итоговая ранжировка строится на основе средних арифметических рангов, выставленных отдельными экспертами . Однако из теории измерений известно (см. главу 2.1), что более обоснованным является использование не средних арифметических, а медиан. Вместе с тем метод средних рангов весьма известен и широко применяется, так что просто отбросить его нецелесообразно. Поэтому было принято решение об одновременном применении обеих методов. Реализация этого решения потребовала разработки методики согласования двух указанных кластеризованных ранжировок.

5. Область применения рассматриваемого метода не ограничивается экспертными оценками. Он может быть использован, например, для сравнения качества математических моделей процесса испарения жидкости. Имелись данные экспериментов и результаты расчетов по 8 математическим моделям. Сравнивать модели можно по различным критериям качества. Например, по сумме модулей относительных отклонений расчетных и экспериментальных значений. Можно действовать и по другому: в каждой экспериментальной точке упорядочить модели по качеству, а потом получать единые оценки методами средних рангов и медиан. Использовались и иные методы. Затем применялись методы согласования полученных различными способами кластеризованных ранжировок. В результате оказалось возможным упорядочить модели по качеству и использовать это упорядочение при разработке банка математических моделей, используемого в задачах химической безопасности биосферы.

6. Рассматриваемый метод согласования кластеризованных ранжировок построен в соответствии с методологией теории устойчивости , согласно которой результат обработки данных, инвариантный относительно метода обработки, соответствует реальности, а результат расчетов, зависящий от метода обработки, отражает субъективизм исследователя, а не объективные соотношения.

Основные математические задачи анализа экспертных оценок. Ясно, что при анализе мнений экспертов можно применять самые разнообразные статистические методы, описывать их - значит описывать практически всю прикладную статистику. Тем не менее можно выделить основные широко используемые в настоящее время методы математической обработки экспертных оценок - это проверка согласованности мнений экспертов (или классификация экспертов, если нет согласованности) и усреднение мнений экспертов внутри согласованной группы.

Поскольку ответы экспертов во многих процедурах экспертного опроса - не числа, а такие объекты нечисловой природы, как градации качественных признаков, ранжировки, разбиения, результаты парных сравнений, нечеткие предпочтения и т.д., то для их анализа оказываются полезными методы статистики объектов нечисловой природы.

Почему ответы экспертов часто носят нечисловой характер? Наиболее общий ответ состоит в том, что люди не мыслят числами. В мышлении человека используются образы, слова, но не числа. Поэтому требовать от эксперта ответ в форме чисел - значит насиловать его разум. Даже в экономике предприниматели, принимая решения, лишь частично опираются на численные расчеты. Это видно из условного (т.е. определяемого произвольно принятыми соглашениями, обычно оформленными в виде инструкций) характера балансовой прибыли, амортизационных отчислений и других экономических показателей. Поэтому фраза типа «фирма стремится к максимизации прибыли» не может иметь строго определенного смысла. Достаточно спросить: «Максимизация прибыли - за какой период?» И сразу станет ясно, что степень оптимальности принимаемых решений зависит от горизонта планирования (на экономико-математическом уровне этот сюжет рассмотрен в монографии ).

Эксперт может сравнить два объекта, сказать, какой из двух лучше (метод парных сравнений), дать им оценки типа "хороший", "приемлемый", "плохой", упорядочить несколько объектов по привлекательности, но обычно не может ответить, во сколько раз или на сколько один объект лучше другого. Другими словами, ответы эксперта обычно измерены в порядковой шкале, или являются ранжировками, результатами парных сравнений и другими объектами нечисловой природы, но не числами. Распространенное заблуждение состоит в том, что ответы экспертов стараются рассматривать как числа, занимаются "оцифровкой" их мнений, приписывая этим мнениям численные значения - баллы, которые потом обрабатывают с помощью методов прикладной статистики как результаты обычных физико-технических измерений. В случае произвольности "оцифровки" выводы, полученные в результате обработки данных, могут не иметь отношения к реальности. В связи с "оцифровкой" уместно вспомнить классическую притчу о человеке, который ищет потерянные ключи под фонарем, хотя потерял их в кустах. На вопрос, почему он так делает, отвечает: "Под фонарем светлее". Это, конечно, верно. Но, к сожалению, весьма малы шансы найти потерянные ключи под фонарем. Так и с "оцифровкой" нечисловых данных. Она дает возможность имитации научной деятельности, но не возможность найти истину.

Проверка согласованности мнений экспертов и классификация экспертных мнений. Ясно, что мнения разных экспертов различаются. Важно понять, насколько велико это различие. Если мало - усреднение мнений экспертов позволит выделить то общее, что есть у всех экспертов, отбросив случайные отклонения в ту или иную сторону. Если велико - усреднение является чисто формальной процедурой. Так, если представить себе, что ответы экспертов равномерно покрывают поверхность бублика, то формальное усреднение укажет на центр дырки от бублика, а такого мнения не придерживается ни один эксперт. Из сказанного ясна важность проблемы проверки согласованности мнений экспертов.

Разработан ряд методов такой проверки. Статистические методы проверки согласованности зависят от математической природы ответов экспертов. Соответствующие статистические теории весьма трудны, если эти ответы - ранжировки или разбиения, и достаточно просты, если ответы - результаты независимых парных сравнений. Отсюда вытекает рекомендация по организации экспертного опроса: не старайтесь сразу получить от эксперта ранжировку или разбиение, ему трудно это сделать, да и имеющиеся математические методы не позволяют далеко продвинуться в анализе подобных данных. Например, рекомендуют проверять согласованность ранжировок с помощью коэффициента ранговой конкордации Кендалла-Смита. Но давайте вспомним, какая статистическая модель при этом используется. Проверяется нулевая гипотеза, согласно которой ранжировки независимы и равномерно распределены на множестве всех ранжировок. Если эта гипотеза принимается, то конечно, ни о какой согласованности мнений экспертов говорить нельзя. А если отклоняется? Тоже нельзя. Например, может быть два (или больше) центра, около которых группируются ответы экспертов. Нулевая гипотеза отклоняется. Но разве можно говорить о согласованности?

Эксперту гораздо легче на каждом шагу сравнивать только два объекта. Пусть он занимается парными сравнениями. Непараметрическая теория парных сравнений (теория люсианов) позволяет решать более сложные задачи, чем статистика ранжировок или разбиений. В частности, вместо гипотезы равномерного распределения можно рассматривать гипотезу однородности, т.е. вместо совпадения всех распределений с одним фиксированным (равномерным) можно проверять лишь совпадение распределений мнений экспертов между собой, что естественно трактовать как согласованность их мнений. Таким образом, удается избавиться от неестественного предположения равномерности.

При отсутствии согласованности экспертов естественно разбить их на группы сходных по мнению. Это можно сделать различными методами статистики объектов нечисловой природы, относящимися к кластер-анализу, предварительно введя метрику в пространство мнений экспертов. Идея американского математика Джона Кемени об аксиоматическом введении метрик (см. ниже) нашла многочисленных продолжателей. Однако методы кластер-анализа обычно являются эвристическими. В частности, невозможно с позиций статистической теории обосновать "законность" объединения двух кластеров в один. Имеется важное исключение - для независимых парных сравнений (люсианов) разработаны методы, позволяющие проверять возможность объединения кластеров как статистическую гипотезу . Это - еще один аргумент за то, чтобы рассматривать теорию люсианов как ядро математических методов экспертных оценок .

Нахождение итогового мнения комиссии экспертов. Пусть мнения комиссии экспертов или какой-то ее части признаны согласованными. Каково же итоговое (среднее, общее) мнение комиссии? Согласно идее Джона Кемени следует найти среднее мнение как решение оптимизационной задачи . А именно, надо минимизировать суммарное расстояние от кандидата в средние до мнений экспертов. Найденное таким способом среднее мнение называют "медианой Кемени".

Математическая сложность состоит в том, что мнения экспертов лежат в некотором пространстве объектов нечисловой природы. Общая теория подобного усреднения построена в ряде работ, в частности, показано, что в силу обобщения закона больших чисел среднее мнение при увеличении числа экспертов (чьи мнения независимы и одинаково распределены) приближается к некоторому пределу, который естественно назвать математическим ожиданием (случайного элемента, имеющего то же распределение, что и ответы экспертов).

В конкретных пространствах нечисловых мнений экспертов вычисление медианы Кемени может быть достаточно сложным делом. Кроме свойств пространства, велика роль конкретных метрик. Так, в пространстве ранжировок при использовании метрики, связанной с коэффициентом ранговой корреляции Кендалла, необходимо проводить достаточно сложные расчеты, в то время как применение показателя различия на основе коэффициента ранговой корреляции Спирмена приводит к упорядочению по средним рангам.

Бинарные отношения и расстояние Кемени. Как известно, бинарное отношение А на конечном множестве Q = {q 1 , q 2 ,..., q k } - это подмножество декартова квадрата Q 2 = {(q m , q n), m,n = 1,2,…,k} . При этом пара (q m , q n) входит в А тогда и только тогда, когда между q m и q n имеется рассматриваемое отношение.

Напомним, что каждую кластеризованную ранжировку, как и любое бинарное отношение, можно задать квадратной матрицей ||x(a,b) || из 0 и 1 порядка k x k . При этом x(a b) = 1 тогда и только тогда, когда a < b либо a = b . В первом случае x(b a) = 0, а во втором x(b a) = 1. При этом хотя бы одно из чисел x(a b) и x(b,a) равно 1.

В экспертных методах используют, в частности, такие бинарные отношения, как ранжировки (упорядочения, или разбиения на группы, между которыми имеется строгий порядок), отношения эквивалентности, толерантности (отношения сходства). Как следует из сказанного выше, каждое бинарное отношение А можно описать матрицей || a(i,j) || из 0 и 1, причем a(i,j) = 1 тогда и только тогда, когда qi и qj находятся в отношении А , и a(i,j) = 0 в противном случае.

Определение. Расстоянием Кемени между бинарными отношениями А и В, описываемыми матрицами ||a(i,j) || и ||b(i,j) || соответственно, называется число

D (A, B) = ∑ │a(i,j) - b(i,j) │,

где суммирование производится по всем i,j от 1 до k , т.е. расстояние Кемени между бинарными отношениями равно сумме модулей разностей элементов, стоящих на одних и тех же местах в соответствующих им матрицах.

Легко видеть, что расстояние Кемени - это число несовпадающих элементов в матрицах ||a(i,j) || и ||b(i,j) ||.

Расстояние Кемени основано на некоторой системе аксиом. Эта система аксиом и вывод из нее формулы для расстояния Кемени между упорядочениями содержится в книге , которая сыграла большую роль в развитии в нашей стране такого научного направления, как анализ нечисловой информации . В дальнейшем под влиянием Кемени были предложены различные системы аксиом для получения расстояний в тех или иных нужных для социально-экономических исследований пространствах, например, в пространствах множеств .

Медиана Кемени и законы больших чисел. С помощью расстояния Кемени находят итоговое мнение комиссии экспертов. Пусть А 1 , А 2 , А 3 ,…, А р - ответы р экспертов, представленные в виде бинарных отношений. Для их усреднения используют т.н. медиану Кемени

Arg min ∑ D (A i ,A) ,

где Arg min - то или те значения А , при которых достигает минимума указанная сумма расстояний Кемени от ответов экспертов до текущей переменной А , по которой и проводится минимизация. Таким образом,

∑ D (A i ,A) = D (A 1 ,A) + D (A 2 ,A) + D (A 3 ,A) +…+ D (A р,A) .

Кроме медианы Кемени, используют среднее по Кемени, в котором вместо D (A i ,A) стоит D 2 (A i ,A) .

Медиана Кемени - частный случай определения эмпирического среднего в пространствах нечисловой природы . Для нее справедлив закон больших чисел, т.е. эмпирическое среднее приближается при росте числа составляющих (т.е. р - числа слагаемых в сумме), к теоретическому среднему:

Arg min ∑ D (A i ,A) → Arg min М D (A 1 , A) .

Здесь М - символ математического ожидания. Предполагается, что ответы р экспертов А 1 , А 2 , А 3 ,…, А р есть основания рассматривать как независимые одинаково распределенные случайные элементы (т.е. как случайную выборку) в соответствующем пространстве произвольной природы, например, в пространстве упорядочений или отношений эквивалентности. Систематически эмпирические и теоретические средние и соответствующие различные варианты законов больших чисел изучены в ряде работ (см., например, ).

Законы больших чисел показывают, во-первых, что медиана Кемени обладает устойчивостью по отношению к незначительному изменению состава экспертной комиссии; во-вторых, при увеличении числа экспертов она приближается к некоторому пределу. Его естественно рассматривать как истинное мнение экспертов, от которого каждый из них несколько отклонялся по случайным причинам.

Рассматриваемый здесь закон больших чисел является обобщением известного в статистике "классического" закона больших чисел. Он основан на иной математической базе - теории оптимизации, в то время как "классический" закон больших чисел использует суммирование. Упорядочения и другие бинарные отношения нельзя складывать, поэтому приходится применять иную математику.

Вычисление медианы Кемени - задача целочисленного программирования. В частности, для ее нахождения используется различные алгоритмы дискретной математики, в частности, основанные на методе ветвей и границ. Применяют также алгоритмы, основанные на идее случайного поиска, поскольку для каждого бинарного отношения нетрудно найти множество его соседей.

Рассмотрим пример вычисления медианы Кемени. Пусть дана квадратная матрица (порядка 9) попарных расстояний для множества бинарных отношений из 9 элементов А 1 , А 2 , А 3 ,..., А 9 (см. табл.3). Найти в этом множестве медиану для множества из 5 элементов {А 2 , А 4 , А 5 , А 8 , А 9 }.

Таблица 3.

Матрица попарных расстояний

В соответствии с определением медианы Кемени следует ввести в рассмотрение функцию

С (А ) = ∑ D(A i ,A) = D(A 2 ,A)+D(A 4 ,A)+D(A 5 ,A)+D(A 8 ,A)+D(A 9 ,A),

С (А 1 ) = D (A 2 ,A 1) + D (A 4 ,A 1) + D (A 5 ,A 1) +D (A 8 ,A 1) + D (A 9 ,A 1) =

= 2 + 1 +7 +3 +11 = 24,

С (А 2 ) = D (A 2 ,A 2) + D (A 4 ,A 2) + D (A 5 ,A 2) +D (A 8 ,A 2) + D (A 9 ,A 2) =

= 0 + 6 + 1 + 5 + 1 = 13,

С (А 3 ) = D (A 2 ,A 3) + D (A 4 ,A 3) + D (A 5 ,A 3) +D (A 8 ,A 3) + D (A 9 ,A 3) =

= 5 + 2 + 2 + 5 +7 = 21,

С (А 4 ) = D (A 2 ,A 4) + D (A 4 ,A 4) + D (A 5 ,A 4) +D (A 8 ,A 4) + D (A 9 ,A 4) =

= 6 + 0 + 5 + 8 + 8 = 27,

С (А 5 ) = D (A 2 ,A 5) + D (A 4 ,A 5) + D (A 5 ,A 5) +D (A 8 ,A 5) + D (A 9 ,A 5) =

= 1 + 5 + 0 +3 + 7 = 16,

С (А 6 ) = D (A 2 ,A 6) + D (A 4 ,A 6) + D (A 5 ,A 6) +D (A 8 ,A 6) + D (A 9 ,A 6) =

= 3 + 4 + 10 + 1 + 5 = 23,

С (А 7 ) = D (A 2 ,A 7) + D (A 4 ,A 7) + D (A 5 ,A 7) +D (A 8 ,A 7) + D (A 9 ,A 7) =

= 2 + 3 +1 + 6 + 3 = 15,

С (А 8 ) = D (A 2 ,A 8) + D (A 4 ,A 8) + D (A 5 ,A 8) +D (A 8 ,A 8) + D (A 9 ,A 8) =

= 5 + 8 + 3 + 0 +9 = 25,

С (А 9 ) = D (A 2 ,A 9) + D (A 4 ,A 9) + D (A 5 ,A 9) +D (A 8 ,A 9) + D (A 9 ,A 9) =

= 1 + 8 + 7 + 9 + 0 = 25.

Из всех вычисленных сумм наименьшая равна 13, и достигается она при А=А 2 , следовательно, медиана Кемени - это множество {А 2 }, состоящее из одного элемента А 2 .

В практической деятельности специалистов по БИ важную роль играет имеющаяся математическая база. Именно благодаря различным методам количественного анализа, построения экономико-математических моделей, анализа и синтеза на основе системного подхода возможно грамотное управление как отдельными сферами профессиональной деятельности, так и целыми предприятиями, отраслями и даже странами. Особое значение при этом имеют оптимизация и принятие решений, на что и направлены многие существующие методы и инструменты.

Математические методы всегда играли ведущую роль в решении различных прикладных задач бизнеса. Именно благодаря им изучались общие закономерности процессов управления и передачи информации. Это осуществлялось на основе изучения множества теорий, принципов и концепций: теории автоматов, теорий принятия решений и оптимального управления, теории алгоритмов, теории обучающихся систем и многих других. С развитием ИТ математическая база не только стала использоваться для дальнейшей автоматизации моделей и организации вычислений, но и обеспечила возможности для развития технологий в новом направлении.

Например, теория автоматов позволяет представлять вычислительные машины в виде математических моделей и, таким образом, лежит в основе различных цифровых технологий и ПО, применяясь при разработке языков программирования, компиляторов и пр.

В тесной взаимосвязи с теорией автоматов находится теория алгоритмов, так как преобразуемая автоматами информация для каждого момента времени позволяет задавать шаги алгоритма. Современная теория алгоритмов также занимается проблемами формулировки различных задач в терминах формальных языков, вычисляет трудоемкость задач и потребность алгоритма в ресурсах, осуществляет поиск критериев качества алгоритмов.

Среди теорий математики и кибернетики крайне важной является теория принятия решений. Данная область исследований изучает закономерности выбора того или иного альтернативного варианта решения, а также занимается поиском наиболее выгодного из них. В числе некоторых из актуальных вопросов в современной теории принятия решений - теория коллективного выбора, например, в части анализа поведения банков или анализа распределения влияния участников какой-либо организации.

Наиболее близкой к теории принятия решений является теория оптимального управления. Ее отличает работа с иерархическими многоуровневыми системами (например, различного масштаба компаниями), для управления которыми требуются специальные методы анализа, позволяющие сформировать многоцелевые и многофакторные системы управления. Системы переводятся в новое состояние по конкретному критерию оптимальности (отсюда название теории), которым может быть минимизация трудозатрат, денежных и прочих ресурсов и пр. В случае если исходных данных для решения задачи недостаточно, а традиционные количественные методы неприменимы, используются также различные алгоритмы на основе теории нечетких множеств и теории принятия решений в условиях неопределенности. Их крайняя реализация - класс эвристических методов, представляющих собой неформализованные методы, основанные на аналогиях, прошлом опыте, экспертных оценках и прочей информации.

Соответственно для понимания и применения всех этих теорий необходим аппарат математического анализа, линейной алгебры, нелинейного программирования, теории вероятностей, комбинаторики, математической статистики, эконометрики и многие другие теоретико-прикладные дисциплины.

Существует множество областей деятельности, в которых широко используются комбинации вышеописанных дисциплин. Одной из наиболее масштабных областей является исследование операций, к которому относятся теория игр и сетевые методы планирования, теория массового обслуживания, теория расписаний, методы искусственного интеллекта и др. Системный подход в данном случае является основополагающим методологическим принципом в исследовании операций. Благодаря ему формируется единое целостное видение проблемы, для которой составляется определенная математическая модель, описывающая в математических терминах поведение системы/процесса/операции/объекта и исследуемая в дальнейшем. Возможностей построения моделей при этом существует огромное множество: линейные и нелинейные, детерминированные или стохастические, статические или динамические, дискретные или непрерывные, структурные или функциональные (так называемые модели черного ящика). Так, совместное использование теории систем массового обслуживания и математической теории расписаний представляет собой эффективный математический аппарат моделирования организации обслуживания и планирования обработки вычислительных задач в многомашинных и мультипроцессорных вычислительных системах.

Для поддержки математического моделирования с помощью компьютерных систем созданы такие известные программные решения, как Mathematica, Mathcad, MATLAB, AnyLogic.

Как уже было сказано, во многих отраслях деятельности - от биологии до строительства или экономики - важен поиск наиболее эффективных и оптимальных решений. Ярким примером являются геоинформациопные системы, которые благодаря заложенным в них моделям способны вычислить кратчайший маршрут для объезда пробок или найти ближайший кинотеатр. Среди теорий и методов, благодаря которым создание таких моделей стало возможным, - теория графов. В ее основе - представление различных объектов, событий и явлений в виде множества вершин (узлов) и ребер, соединяющих их. В случае геоинформационной системы различные дома и учреждения могут рассматриваться как вершины графов, а дороги, линии электропередач и прочие сети - как ребра графов.

Теория графов, применяемая в химии, позволяет вычислить число возможных изомеров различных органических соединений, а в коммуникационных системах - осуществлять маршрутизацию данных. Подобная же логика может быть применена и в других областях - при календарном планировании производственных процессов, расчете сетей массового обслуживания, анализе продуктовых потоков и в других целях.

Для более наглядного представления о самих методах, применяющихся для решения подобных задач, рассмотрим известную задачу коммивояжера. Ее суть - в поиске оптимального пути (которым может быть самый быстрый, самый короткий, самый дешевый маршрут) через несколько городов с заходом в них минимум один раз и конечным возвратом в исходный город. Разумеется, первым вариантом решения задачи будет ручной перебор всех возможных маршрутов. Однако в случае, когда количество вершин графа (= городов в маршруте) будет исчисляться десятками и сотнями, эффективность подобных вычислений крайне сомнительна. Поэтому оптимальная вариация данного метода - неявный перебор, или метод ветвей и границ. Он основан на идее последовательного разбиения множества допустимых решений, элементы которого на каждом шаге анализируются на предмет содержания в них оптимального решения. В случае поиска минимума (минимальное время, минимальное расстояние и т.д.) для подмножества нижняя оценка целевой функции сравнивается с верхней оценкой функционала. Алгоритм завершает работу, когда просмотрены все элементы разбиения и найдено решение с самой минимальной верхней оценкой.

Существуют также многие другие методы поиска решения: различные виды переборов, «метод ближайшего соседа», «метод имитации отжига», «алгоритм муравьиной колонии», «метод эластичной сети», которые различаюгся степенью точности, трудоемкостью и, конечно, применяемым математическим аппаратом.

Например, известный алгоритм Дейкстры, определяющий кратчайшее расстояние от одной выделенной вершины до всех остальных вершин, использует протоколы маршрутизации SSPF и IS-IS.

Существует также другой класс задач, относящихся к функциям нескольких переменных, для которых имеются различные связи и ограничения. Их рассмотрение проводится численными методами в рамках раздела нелинейного программирования. Например, если для промышленного предприятия целевой функцией будет являться функция прибыли, то ограничениями в таком случае станут изменяющиеся по определенным принципам ресурсы, рабочая сила, постепенно снижающаяся производительность оборудования и пр. Однако данная задача актуальна и для естественных наук, бизнеса, экономики, вычислительной техники и других сфер.

Большинство из вышеупомянутых задач невозможно рассматривать вне привязки еще к одному важнейшему разделу математики и статистики - теории вероятностей. Она изучает случайные явления, события и величины, их свойства и закономерности и строит функции распределения возможных значений величин. Примером использования теории может быть простейший расчет планового числа бракованных изделий на производстве исходя из вероятности их появления при различных условиях и размеров партии изделий.

Теория случайных процессов (броуновское движение, случайные блуждания, полеты Леви) эффективно используется для моделирования колебаний на фондовых рынках.

Такие сферы, как создание биржевых торговых роботов или оценка кредитных рисков, моделирование химических процессов, разработка систем компьютерного зрения или даже таргетинг рекламы, используют именно методы теории вероятностей. Разумеется, в зависимости от имеющихся данных и применяемых инструментов для каждой задачи будут также меняться трудоемкость решения и степень погрешности результата.

Другим примером для теории вероятностей, уже напрямую связанным с областью комбинаторики, являются криптоанализ и шифрование данных, например, взлом паролей через сравнение с наиболее стандартным списком кодов и затем определение вероятности размещения определенных элементов кода в конкретной последовательности через семантический анализ или анализ расположения различных клавиш на устройстве ввода. Комбинаторика является важной составляющей математического аппарата БИ. Она изучает различные дискретные объекты и их множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления) и тесно связана с теорией графов, которую некоторые исследователи даже причисляют к одной из областей комбинаторики. Очень многие сферы деятельности покрываются комбинаторными методами - от образования (составление расписания занятий) до военного дела (расположение подразделений), от экономики (анализ вариантов операций с акциями) до азартных игр (и расчета частоты выигрышей).

Наконец, следует сказать еще о такой науке, как математическая статистика, которая в значительной степени опирается на теорию вероятностей. Именно статистика предоставляет методы регистрации, описания и анализа различных экспериментов и наблюдений для дальнейшего построения моделей процессов и явлений. При этом некоторые методы математической статистики направлены исключительно на описание данных, их визуализацию и интерпретацию, другие - на оценку и проверку гипотез. Например, на это направлен факторный анализ, который позволяет изучать взаимосвязи между значениями переменных и выявлять скрытые переменные факторы, создающие корреляции между переменными.

Благодаря кластерному, дискриминантному, корреляционному анализу и другим методам, пришедшим из математической статистики, возможности современных ИС (от пакетов SAS, SPSS, Statistica до модулей ERP/BI и других систем) позволяют осуществлять имитационное моделирование, проводить распознавание образов, аналитическую обработку данных и решать многие другие комплексные задачи работы со сложными системами.

Одним из последних направлений в исследовании сложных динамических систем является синергетика, включающая теорию динамического хаоса, катастроф и бифуркаций, изучающая закономерности сложных неравновесных процессов на основе присущих им принципов самоорганизации. Здесь, прежде всего, следует отметить успехи синергетического подхода в моделировании нелинейной динамики агрегированных рыночных цен и финансовых странных аттракторов, взаимодействий в системе «вирус - антивирус» вычислительных комплексов.

В данном обзоре приведены не все математические методы, которые могут использоваться специалистами БИ. Автор надеется, что коллеги по БИ сделают полный обзор математических методов системного анализа в своих будущих работах.

Таким образом, среди сфер применения системного подхода :

• совершенствование бизнес-процессов через измерение и оценку (внедрение систем менеджмента качества);
• совершенствование системы управления организации;
• оптимизация различных процессов через разработку математических моделей, алгоритмических и программных решений;
• исследование операций при работе в области информационной бизнес-аналитики;
• сценарная оптимизация динамических процессов;
• проектирование и расчет сложных систем.

• По материалам учебника по дисциплине «Моделирование и анализ бизнес-процессов»коллектива авторов (А. И. Громов, В. Г. Чеботарев, Я. В. Горчаков, О. И. Бойко). М.: Изд-воГУ ВШЭ, 2008).

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Кравчук Алина Сергеевна

Студентка 4 курса, кафедра экономической кибернетики ВНАУ. г. Винница

Черняк Наталия Ивановна

научный руководитель, к.т.н., доцент ВНАУ, г. Винница

Введение. На современном этапе развития рыночных отношений, при сложных экономических и информационных связях между субъектами хозяйствования, в процессе управления предприятием возникают проблемы, зависящие от значительного количества внешних и внутренних факторов, быстро изменяющиеся во времени и разнонаправлено влияющие на эффективность функционирования предприятия. В таких условиях при разработке и принятии управленческих решений необходимо учитывать условия неопределенности, анализировать их, использовать соответствующие модели и методы принятия решений.

Анализ последних исследований и публикаций. Проблемы разработки и принятия управленческих решений в условиях неопределенности рассмотрены в работах таких отечественных и зарубежных ученых, как Р. Акофф, И.О. Бланк, В.В. Витлинский, В. Г. Вовк, А. К. Камалян, Ю. Г. Лысенко, М. Мескон, Д. О. Новиков, В. С. Пономаренко, О. И. Пушкарь, Т. Саати, Г.Саймон, Э. А. Трахтенгерц, Р. А. Фатхутдинов, Дж. Форрестер и др.

Целью исседования является изучение модели принятия решений в условиях неопределенности, базирующейся на теоретико-игровой концепции с применением классических критериев оценки альтернатив из множества возможных вариантов.

Основные результаты исследования. Неопределенность - фундаментальная характеристика недостаточной обеспеченности процесса принятия экономических решений знаниями относительно определенной проблемной ситуации. Неопределенность можно трактовать и детализировать как недостоверность, неоднозначность .

Для обоснования решений в условиях неопределенности, когда вероятности возможных вариантов обстановки неизвестны, разработаны специальные математические методы, которые рассматриваются в теории игр. Теория игр исследует взаимодействие индивидуальных решений при некоторых предположениях относительно принятия решений в условиях риска, общих условий окружающей среды, кооперативного или некооперативного поведения других индивидов. Целью теории игр есть предвидение результатов стратегических, оперативных игр, когда участники не имеют полной информации о намерениях друг друга .

Пусть информационная ситуация характеризуется множеством

Где – множество решений (альтернатив) объекта управления,

– множество состояний неопределенной экономической среды,

– функционал оценивания (матрица оценивания), определенный на и и тот, который .

Качество принимаемого решения, а также методика его принятия, зависят от степени информированности субъекта управления. Под информационной ситуацией с точки зрения субъекта управления подразумевают определенную степень градации неопределенности выбора средой своих состояний в момент принятия решения .

Рассмотрим классификатор информационных ситуаций, связанных с неопределенностью среды:

И 1 – первая информационная ситуация характеризуется заданным распределением априорных вероятностей на элементах множества состояний среды;

И 2 – вторая информационная ситуация характеризуется заданным распределением вероятностей с неизвестными параметрами или факторами среды (достаточная по объему информация, выдвинута гипотеза относительно класса функций, которому принадлежит функция плотности распределения вероятности и на основе имеющейся информации необходимо оценить параметры, которые характеризуют этот класс функций);

И 3 – третья информационная ситуация характеризуется заданной системой линейных или нелинейных соотношений на элементах априорного распределения состояний среды.

В пределах первой – третьей информационных ситуаций в условиях неопределенности среды и риска при осуществлении процесса принятия эффективных решений используют критерии Байєса, модульный, минимальной дисперсии, Гермейера, максимакса .

И 4 – четвертая информационная ситуация характеризуется неизвестным распределением вероятностей на элементах (параметрах, факторах и т.п.) множества состояний среды. В такой ситуации целесообразно использование критериев Джейнса, Лапласа;

И 5 – пятая информационная ситуация характеризуется антагонистическими интересами среды, в процессе принятия решений оценку альтернатив осуществляют за критериями Вальда, Севиджа;

И 6 – шестая информационная ситуация характеризуется как промежуточная между И 1 и И 5 при выборе среды своих состояний в процессе принятия решений за критериями Гурвица, Ходжа-Лемана.

Приведенные информационные ситуации являются глобальными характеристиками степени неопределенности состояний с точки зрения субъекта управления .

Пусть функционал имеет положительный ингредиент (задача оптимизации категорий полезности, выигрыша, прибыльности, вероятности достижения определенной стратегии), т.е.

, (1)

И пусть для отрицательного ингредиента (оптимизации расходов, ущерба, риска), т.е.

, (2)

Функция риска при осуществлении определенной стратегии определяется как линейное преобразование положительно или отрицательно заданного ингредиента функционала V к относительным единицам измерения составляющих функционала V .

Так, для и определенной информационной ситуации, а также для зафиксированного состояния среды , величина риска равна:

,

Для соответственно

Таким образом, риск определяется как разность решения при наличии точных данных состояния среды и результата, который может быть достигнутым, когда данные состояния среды не определенные.

Определение альтернатив осуществляется при условиях, например, информационных ситуаций І 1 – І 6 соответственно по критериям:

(критерий Вальда); (3)

Критерий Вальда выражает позицию крайней осторожности. Это свойство разрешает считать данный критерий одним из фундаментальных.

(критерий Севиджа); (4)

Критерий Севиджа довольно часто используется в практической деятельности при принятии управленческих решений на продолжительный период: например, при распределении капитальных вложений.

(критерий Лапласа); (5)

Критерий Лапласа используется при условии, когда вероятности возможных состояний систем неизвестны, т.е. в условиях полной неопределенности.

(критерий максимакса); (6)

С помощью критерия максимакса определяется стратегия, которая максимизирует максимальные выигрыши для каждой информационной ситуации.

(критерий Гермейєра); (7)

Критерий Гермейера является критерием крайнего пессимизма с учетом вероятности состояний внешней среды.

Переменные определяют объемы ресурсов в значении прибыли , или расходов , следовательно, зная цену за единицу ресурсов, которые предлагаются к расходам, можно рассчитывать объемы прибыли или потерь от осуществления той или другой стратегии относительно оптимальных альтернатив.

Если эксперты не могут (или имеют сомнения) определить состояние внутренней среды ресурсов в определенный период их использования к условиям поведения внешней среды за информационными ситуациями И 1 – И 6 , то проводится оценивание альтернатив за всеми критериями . Определение оптимальной альтернативы в этом случае осуществляется так называемым методом голосования, сущность которого состоит в выборе той альтернативы, за которую проголосовало наибольшее количество экспертов.

Выводы. Неопределенность – это непреодолимое качество рыночной среды, обусловленное влиянием большого количества разных по природе и направленности факторов, которые в совокупности невозможно оценить или измерить. При формировании управленческого решения в условиях неопределенности использования одного из приведенных критериев недостаточно для рационального выбора решения, так как может привести к к значительным потерям экономического, социального и иного содержания. Необходимо учитывать фактор времени, объединять критерии между собой и проводить анализ критериев на уже известных ситуациях для проверки достоверности полученных результатов. Целесообразно также же объединять применение данных критериев с методом экспертных оценок.

Список литературы:

1. Арефьева А. А. Модели принятия экономико-организационных решений повышения эффективности использования производственного потенциала и критерии целесообразности его применение / А. А. Ареф"єва, В. М. Михайленко, О. Л. Горяча // Проблемы информационных технологий. – 2007. – № 1. – С. 14-23.

2. Витлинский В. В.Экономический риск: игровые модели: Учебн. пособие / В. В. Витлинский, П. И. Верченко, А. В. Сигал, Я. С. Наконечный; За ред. д-ра экон. наук, проф. В. В. Витлинского. – К.: КНЭУ, 2002. – 446 с.

3. Клименко С. М., Дуброва О. С.Обоснование хозяйственных решений и оценка рисков: Учебн.-метод. пособ. для самост. изуч. дисц. – К.: КНЭУ, 2006. – 188 с.

4. Левикин В. М. Влияние информационных технологий на реинжиниринг бизнес-процессов предприятия / В. М. Левикин, М. Г. Капустин // Новые технологии. – 2005. – № 3 (9). – С. 73.

5. Петров Э. Г. Управление функционированием и развитием социально-экономических систем в условиях неопределенности / Э. Г. Петров, Н. А. Соколова, Д. И. Филипская // Вестник Херсонского национального технического университета. – 2007. – Вып. 27. – С. 156–159.

Из различных методов принятия экономических решений можно выделить наиболее распространенные: математическое программирование; теория игр; теория статистических решений; теория массового обслуживания; метод причинно-следственного анализа; использование модели

Математическое программирование представляет собой теоретические принципы и аналитические методы решения задач, в которых происходит поиск экстремума (минимум или максимум) определенной функции при наличии ограничений, налагаемых на неизвестные. Особое место в математическом программировании занимает линейное программирование, которое наиболее разработанное и широко применяется на практике. Линейное программирование включает аналитические методы решения таких задач, в которых целевая функция и ограничения выражены в линейной форме, то есть неизвестные входящих в целевой функции и ограничения должны первая ступень. Задачи, в которых отыскиваются максимальное и минимальное значение линейной функции при линейных ограничениях, называются задачами линейного программирования.

В зависимости от вида целевой функции и системы ограничений методы математического программирования делят на

линейное программирование - целевая функция и функции ограничений, входящих в систему ограничений являются линейными (уравнение первого порядка)

нелинейное программирование - целевая функция или одна из функций ограничений, входящих в систему ограничений являются нелинейными (уравнение высших порядков)

Целочисленное (дискретное) программирования - если хотя бы одну переменную наложен условие целочисленности;

динамическое программирование - если параметры целевой функции и / или система ограничений меняются во времени или целевая функция имеет аддитивный / мулиишгикативний вид или сам процесс принятия решения масс многошаговый характер.

В зависимости от сведения информация о процессе заранее, в методы математического программирования делят на

Стохастическое программирование - известна не вся информация о процессе заранее: параметры входящих в целевую функцию или в функцию ограничений являются случайными или приходится принимать решения в условиях риска

Детерминировано программирования - известна вся информация о процессе заранее.

В зависимости от количества целевых функций задачи делятся на:

Однокритериальной;

Багатокритериапьни.

Линейное программирование объединяет теорию и методы решения класса задач, в которых определяется совокупность значений переменных величин, которые удовлетворяют заданным линейным ограничением и максимизируя (или минимизирующая) некоторую линейную функцию. То есть, задачами линейного программирования являются такие оптимизационные задачи, в которых целевая функция и функциональные ограничения - линейные функции, принимают любые значения из некоторого множества значений.

Для задач линейного программирования разработаны многочисленные методы решения и соответствующее математическое обеспечение для различных ситуаций. Для решения задач линейного программирования используется несколько методов, среди которых наиболее распространенными являются симплекс-метод и графический метод.

Наиболее удобный метод для решения подобных задач является симплекс метод, который позволяет отталкиваясь от исходного варианта решения задач, за определенное количество шагов получить оптимальный вариант. Каждый из этих шагов (итераций) заключается в нахождении нового варианта, которому соответствует наибольшее (при решении задач на максимум) или меньше (при решении задач на минимум) значения линейной функции, чем значение этой же функции в предыдущем варианте. Процесс повторяется пока не будет получено оптимальный вариант решения, которое имеет экстремальное значение.

Таким образом, можно считать, что оптимальным является план, который обеспечивает максимальный производственной эффект при заданном объеме материальных, сырьевых, трудовых ресурсов. Максимальный производственный эффект определяется критерием оптимизации, который и определяет целевую функцию.

Наиболее типичными задачами, для решения которых используют симплекс-метод, являются: оптимальное планирование на предприятиях (планирование ассортиментного выпуска продукции), оптимальный набор исходного сырья, эффективное использование сырьевых, материальных, трудовых, финансовых и энергетических ресурсов, задачи оптимизации организации производства (транспортная задача).

Оптимизация производственной программы (ассортиментные задачи) на предприятиях представляют собой группу задач, в которых определяют производственную программу с учетом влияния на предприятия внутренних факторов (возможностей оборудования, лимитов сырья, трудовых факторов) и некоторых внешних требований (спрос по товарной продукции в целом или отдельных ии ассортиментных групп и видов, средней цены ассортимента, который выпускается и т.д.).

Основные этапы постановки и решения задачи оптимизации производственной программы:

1) построение экономико-математической модели: сбор информации, подготовка ее для построения модели; выбор критерия оптимизации; выбор ограничений и построение их в общем виде; аналитический и табличный вид модели с реальными коэффициентами;

2) нахождение оптимального решения задачи;

3) анализ результатов решения и практические рекомендации.

В оптимальном плане выпуска продукции выбор критериев оптимизации осуществляется в соответствии с целью решения задачи. Критерием оптимизации могут быть разные стоимостные и натуральные показатели. Кроме функции цели, в модели используются ограничения, так как ресурсы, которыми располагает предприятие, в большинстве случаев ограничены, а также ассортиментный выпуск должен рассчитываться с учетом спроса на продукцию. Ограничения избираются в зависимости от ресурсов, которые используются для выпуска производственной программы предприятия.

Эффективность задачи и оптимальность полученного ассортимента оценивается с помощью систем экономических показателей (изменение объемов производства продукции в натуральном и стоимостном выражении, снижение затрат на производство продукции, увеличение прибыли и рентабельности, уменьшение затрат на 1 руб., Использование сырья и т.д.).

Теория игр изучает количественные закономерности в конфликтных ситуациях. Основной целью теории игр является выработка или количественное обоснование рекомендаций по выбору наиболее рационального решения в конфликтных ситуациях. В экономических исследованиях конфликтными ситуациями называются такие ситуации, когда возникает необходимость выбора рационального решения из двух или более взаимоисключающих вариантов.

Теория статистических решений, которая использует методы изучения процессов и явлений, которые очень подвергаются воздействию случайных, неопределенных факторов, в основе данной теории составляет теория вероятности.

Теория массового обслуживания, изучает закономерности процессов массового обслуживания и на их основе разрабатывает эффективные методы управления системами обслуживания. Методы теории массового обслуживания позволяют рационально организовать процесс обслуживания и обеспечить наиболее эффективное функционирование системы массового обслуживания (сокращение времени ожидания обслуживания, снижение затрат на обслуживание). Основу теории массового обслуживания составляют теория вероятности и математическая статистика.

Дерево принятия решений (также могут называться деревьями классификаций или регрессионного деревьями) - используется в области статистики и анализа данных для прогнозных моделей. Структура дерева содержит следующие элементы: "листья" и "ветви". На ребрах («ветвях») дерева принятия решения записаны атрибуты, от которых зависит целевая функция, в "письме" записаны значения целевой функции, а в других узлах - атрибуты, по которым различаются случаи. Чтобы классифицировать новый случай, надо спуститься по дереву до листа и выдать соответствующее значение. Подобные деревья решений широко используются в интеллектуальном анализе данных. Цель состоит в том, чтобы создать модель, которая прогнозирует значение целевой переменной на основе нескольких переменных на входе.

Каждый лист представляет собой значение целевой переменной, измененной в ходе движения от корня по листу. Каждый внутренний узел соответствует одной из входных переменных. Дерево может быть также "изучено" разделением выходных наборов переменных на подмножества, основанные на тестировании значений атрибутов. Это процесс, который повторяется на каждом из полученных подмножеств. Рекурсия завершается тогда, когда подмножество в узле имеет те же значения целевой переменной, таким образом, оно не добавляет ценности для предсказаний. Процесс, идущий "сверху вниз", индукция деревьев решений (TDIDT), является примером поглощающего "жадного" алгоритма, и на сегодняшний день является наиболее распространенной стратегией деревьев решений для данных, но это не единственная возможная стратегия. В интеллектуальном анализе данных, деревья решений могут быть использованы в качестве математических и вычислительных методов, чтобы помочь описать, классифицировать и обобщить набор данных, которые могут быть записаны следующим образом:

Зависимая переменная Y является целевой переменной, которую необходимо проанализировать, классифицировать и обобщить. Вектор х состоит из входных переменных Х1, x2, х3 и т.д., которые используются для выполнения этой задачи.

В анализе решений "дерево решений" используются как визуальный и аналитический инструмент поддержки принятия решений, где рассчитываются ожидаемые значения (или ожидаемая полезность) конкурирующих альтернатив.

Дерево решений состоит из трех типов узлов.

1. Узлы решение - обычно представлены квадратами.

2. Вероятностные узлы - представляются в виде круга.

3. Замыкающие узлы - представляются в виде треугольника.

На рис. 4.1, представленном ниже, дерево решений следует читать слева направо. Дерево решений не может содержать в себе циклические элементы, то есть каждый новый лист впоследствии может только расщепляться, отсутствуют сходятся пути. Таким образом, при конструировании дерева вручную, мы можем столкнуться с проблемой его размерности, поэтому, как правило, дерево решения мы можем получить с помощью специализированных программ. Обычно дерево решений представляется в виде символической схемы, благодаря которой его проще воспринимать и анализировать.

Рис. 4.1. дерево решений

Деревья решений, используемые в Data Mining, бывают двух основных тылов:

Анализ дерева классификации, когда прогнозируемый результат является классом, к которому относятся данные;

Регрессивный анализ дерева, когда прогнозируемый результат можно рассматривать как действительное число (например, цена на дом, или продолжительность пребывания пациента в больнице).

Упомянутые выше сроки впервые были использованы Брейман и др. Перечисленные типы имеют некоторые сходства, а также некоторые различия, такие, как процедура, используемая для определения, где разбивать. Некоторые методы позволяют построить более одного дерева решений:

Дерево решений "мешок", наиболее раннее дерево решений, строит несколько деревьев решений, неоднократно интерполирующая данные с заменой, и деревья голосований для прогноза консенсуса Случайный классификатор "лесной" использует ряд деревьев решений, с целью улучшения ставки классификации;

"Повышенные" дерева могут быть использованы для регрессивного типа и классификации типа проблем.

"Вращение леса» - деревья, в которых каждое дерево решений анализируется первым применением метода главных компонент (РСА) на случайные подмножества входных функций.

Общая схема построения дерева принятия решений по тестовым примерам выглядит следующим образом (по алгоритму рис. 4.2):

Рис. 4.2. Алгоритм построения дерева решений

Основной вопрос: как выбирать очередной атрибут? Есть разные способы выбирать очередной атрибут:

Алгоритм IDЗ, где выбор атрибута происходит на основании прироста информации (англ. Gain), или на основании коэффициент Джини.

Алгоритм С4.5 (улучшенная версия ID3), где выбор атрибута происходит на основании нормализованного прироста информации (англ. Gain Ratio).

Алгоритм CART и его модификации - IndCART, DB-CART.

Автоматический детектор взаимодействия Хи-квадрат (сил). Выполняет многоуровневый разделение при расчете классификации деревьев.

MARS: расширяет дерева решений для улучшения обработки цифровых данных.

На практике в результате работы этих алгоритмов часто получаются слишком детализированы дерева, которые при их дальнейшем применении дают много ошибок. Это связано с явлением переобучения. Для сокращения деревьев используется отсечение ветвей (англ. Pruning).

Регулировка глубины дерева - это техника, которая позволяет уменьшать размер дерева решений, удаляя участки дерева, которые имеют небольшой вес.

Один из вопросов, который возникает в алгоритме дерева решений - это оптимальный размер конечного дерева. Так, небольшое дерево может не охватить ту или иную важную информацию о выборочном пространства. Тем не менее, трудно сказать, когда алгоритм должен остановиться, потому что невозможно спрогнозировать, добавление которого узла позволит значительно уменьшить ошибку. Эта проблема известна как "эффект горизонта". Тем не менее, общая стратегия ограничения дерева сохраняется, то есть удаление узлов реализуется в том случае, если они не дают дополнительной информации.

Необходимо отметить, что регулирование глубины дерева должно уменьшить размер учебной модели дерева без уменьшения точности ее прогноза или с помощью перекрестной проверки. Есть много методов регулирования глубины дерева, которые отличаются измерением оптимизации производительности.

Сокращение дерева может осуществляться сверху вниз или снизу вверх. Сверху вниз - обрезка начинается с корня, снизу вверх - сокращается число листьев дерева. Один из самых простых методов регулирования - уменьшение ошибки ограничения дерева. Начиная с листьев, каждый узел заменяется на самый популярный класс. Если точность предсказания не влияет, то изменение сохраняется.

При принятии решений менеджер может использовать один из приведенных выше методов. Лучшие решения принимаются группой. Эффективность групповых решений во многом зависит от руководителя. С учетом умений, характера и настроения руководителя, его педагогических способностей, внимания к людям и других качеств психологи выделяют пять типов руководителей: диктатор, демократ, пессимист, организатор и манипулятор.

Метод, основанный на научно-практическом подходе, требует использования современных технических средств и прежде всего электронно вычислительной техники.

В целом проблема выбора руководителем решения - одна из важнейших в современной науке и практике управления.